Info Zonaku

Info Zonaku

Suatu batang logam dengan diameter D (cm) dan panjang L (cm) dengan rasio antara L/D sangat besar. Batang logam tersebut mempunyai nilai konduktivitas thermal yang cukup besar,k (Cal/dt.cm.°C) dan kedua ujung batang logam tersebut melekat pada dua dinding yang masing-masing suhunya dipertahankan tetap yaitu Ta (°C) dan Tb (°C), dimana Ta > Tb

matematika teknik

Table of Contents

Apa Itu Matematika?

Matematika adalah bahasa universal yang tak terbantahkan kehadirannya dalam dunia teknik. Dari perencanaan dan analisis hingga perancangan dan implementasi, ilmu matematika menjadi tiang penopang keberhasilan banyak proyek teknik yang kompleks. Artikel ini akan mengajak Anda untuk menjelajahi berbagai contoh soal matematika teknik yang menarik, mengungkapkan betapa esensialnya matematika dalam menciptakan solusi yang kokoh dan inovatif.

Dalam artikel ini, kita akan melihat beberapa contoh kasus yang melibatkan pemecahan masalah matematika dalam berbagai cabang teknik. Dari ilmu struktural hingga analisis termal, dan dari kendali proses hingga optimasi, setiap contoh akan menyoroti peran penting matematika dalam mencapai hasil akurat dan efisien.

Mengapa Matematika Teknik Penting?

Sebagai inti dari disiplin ilmu teknik, matematika menyediakan alat analisis dan perhitungan yang tak ternilai harganya. Kemampuannya untuk menyusun model dan prediksi berdasarkan data empiris, memecahkan persamaan diferensial, mengoptimalkan fungsi, dan menggambarkan fenomena alam dengan rumus dan teorema, telah mengubah cara kita memahami dan merancang dunia di sekitar kita.

Melalui contoh soal matematika teknik yang menarik ini, kita akan melihat bagaimana matematika berperan dalam mengatasi tantangan teknis yang beragam. Dari desain struktur bangunan yang inovatif hingga pengembangan sistem kendali canggih, matematika memberikan dasar yang kuat untuk menciptakan teknologi masa depan.

Contoh Soal

Suatu batang logam dengan diameter D (cm) dan panjang L (cm) dengan rasio antara L/D sangat besar. Batang logam tersebut mempunyai nilai konduktivitas thermal yang cukup besar,k (Cal/dt.cm.°C) dan kedua ujung batang logam tersebut melekat pada dua dinding yang masing-masing suhunya dipertahankan tetap yaitu Ta (°C) dan Tb (°C), dimana Ta > Tb. Batang logam ini permukaannya tidak diisolasi sehingga bersentuhan langsung dengan udara. Jika suhu udara dianggap tetap,Tu (°C) dan koefisien perpindahan panas sepanjang permukaan logam ke udara, h (Cal/dt.cm².°C) serta Suhu udara, Tu (°C) dan lebih kecil dari suhu batang logam.

a. Susunlah persamaan matematis yang dapat dipakai untuk mencari distribusi suhu batang logam pada keadaan steady state.

alam keadaan steady state, distribusi suhu dalam batang logam dapat dinyatakan dengan persamaan panas sebagai berikut:

d²T/dx² = 0

di mana T adalah suhu dalam batang logam dan x adalah koordinat aksial dari batang logam.

Untuk mencari distribusi suhu batang logam, kita dapat menggunakan metode diferensial berdasarkan persamaan panas di atas.

Karena batang logam melekat pada dua dinding dengan suhu yang tetap (Ta dan Tb), kita dapat menggunakan persamaan suhu dalam batang logam sebagai berikut:

T(x) = (Ta – Tb) * (x / L) + Tb

Dalam persamaan di atas, suhu T(x) dalam batang logam pada posisi x dinyatakan sebagai garis lurus antara suhu Ta dan Tb.

Namun, karena batang logam ini bersentuhan langsung dengan udara, terdapat juga suhu udara (Tu) yang mempengaruhi suhu batang logam. Oleh karena itu, kita perlu memperhitungkan transfer panas antara permukaan batang logam dan udara.

Transfer panas tersebut dapat dinyatakan dengan hukum perpindahan panas konveksi Newton:

q = h * A * (T(x) – Tu)

di mana q adalah laju transfer panas, h adalah koefisien perpindahan panas, A adalah luas permukaan batang logam, T(x) adalah suhu pada posisi x dalam batang logam, dan Tu adalah suhu udara.

Ketika mencapai kondisi steady state, laju transfer panas keluar dari batang logam harus sama dengan laju transfer panas masuk dari suhu tetap Ta dan Tb.

Dengan demikian, persamaan panas total dapat ditulis sebagai berikut:

q = -k * A * dT/dx

Di sini, k adalah konduktivitas termal logam, A adalah luas penampang melintang batang logam, dan dT/dx adalah gradien suhu dalam batang logam.

Menggabungkan persamaan transfer panas konveksi dan persamaan panas total, kita dapat menulis persamaan diferensial parsial yang menggambarkan distribusi suhu batang logam pada steady state:

-k * A * dT/dx = h * A * (T(x) – Tu)

Dengan membagi persamaan di atas dengan A dan menyederhanakannya, kita dapatkan persamaan akhir untuk distribusi suhu batang logam pada keadaan steady state:

-dT/dx = (h / k) * (T(x) – Tu)

Inilah persamaan matematis yang dapat digunakan untuk mencari distribusi suhu batang logam pada keadaan steady state.

b. Tentukan kondisi batas yang diperlukan dari peristiwa perpindahan panas tersebut diatas.

Dalam peristiwa perpindahan panas pada batang logam dengan kedua ujung yang melekat pada dinding dengan suhu tetap, terdapat beberapa kondisi batas yang perlu diperhatikan. Kondisi batas ini menggambarkan persyaratan yang harus dipenuhi pada setiap ujung batang logam. Berikut adalah kondisi batas yang diperlukan:

  1. Kondisi batas pada ujung pertama (x = 0):
    • Suhu pada ujung pertama batang logam harus sama dengan suhu tetap yang terhubung dengannya, yaitu Ta.
    • Oleh karena itu, persamaan kondisi batas pada ujung pertama adalah: T(0) = Ta
  2. Kondisi batas pada ujung kedua (x = L):
    • Suhu pada ujung kedua batang logam harus sama dengan suhu tetap yang terhubung dengannya, yaitu Tb.
    • Oleh karena itu, persamaan kondisi batas pada ujung kedua adalah: T(L) = Tb
  3. Kondisi batas pada permukaan logam yang bersentuhan langsung dengan udara:
    • Terdapat transfer panas konveksi antara permukaan logam dan udara dengan laju transfer panas q.
    • Kondisi batas ini dapat dinyatakan menggunakan hukum perpindahan panas konveksi Newton: -q = h * A * (T(x) – Tu)
    • Di sini, q adalah laju transfer panas, h adalah koefisien perpindahan panas, A adalah luas permukaan batang logam, T(x) adalah suhu pada posisi x dalam batang logam, dan Tu adalah suhu udara.

Kondisi batas ini mempengaruhi persamaan diferensial parsial yang menggambarkan distribusi suhu batang logam.

FOLLOW

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Postingan Terkait